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  • Lingua Insegnamento:
    ITALIANO 
  • Testi di riferimento:
    S. Ross: Calcolo delle probabilità 3/ed, Apogeo, 2014
    Dispense e fogli di esercizi disponibili sul sito web della docente
    (https://economia.unich.it/) 
  • Obiettivi formativi:
    Il corso, insieme all'associato corso di Laboratorio di Calcolo delle Probabilità,
    si propone di fornire le basi del Calcolo delle Probabilità: questa disciplina matematica,
    infatti e' essenziale per la Statistica, l'Econometria e la Finanza e riveste più in generale
    un ruolo importante nella teoria economica recente.

    In particolare, l’insegnamento, previsto nel piano di studi del Percorso in Economia e
    Finanza, ha l’obiettivo di fornire le conoscenze necessarie per i successivi corsi di Finanza,
    Titoli derivati e gestione del rischio ed Econometria, per i quali e' propedeutico.

    RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:
    Ci si attende che lo studente:
    - assimili i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità;
    - sappia utilizzare tali concetti per analizzare i fenomeni aleatori;
    - sappia formalizzare e risolvere problemi (problem solving);
    - comprenda alcuni aspetti teorici e sappia esporli;
    - sia in grado svolgere alcune dimostrazioni matematiche.

    CONOSCENZE E CAPACITA' DI COMPRENSIONE:
    Alla fine del corso lo studente dovrà:
    - aver assimilato i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità;
    - aver sviluppato la capacità di formalizzare problemi concreti;
    - saper utilizzare i risultati fondamentali del Calcolo delle Probabilità per risolvere problemi concreti. 
  • Prerequisiti:
    Nozioni di base di calcolo differenziale e integrale e di vettori e matrici. Non sono
    previsti vincoli di propedeuticità. 
  • Metodi didattici:
    L’insegnamento è strutturato in almeno 48 ore di didattica frontale sulla teoria,
    con applicazioni ed esempi.
    Il corso e' affiancato dal corso di Laboratorio di Calcolo delle Probabilità,
    in cui vengono svolte esercitazioni, con la correzione di esercizi e problemi assegnati dalla
    docente.
    La frequenza è facoltativa, consigliata, e la prova finale sarà uguale per
    frequentanti e non. 
  • Modalità di verifica dell'apprendimento:
    La verifica della preparazione degli studenti avverrà con esame integrato
    con il corso di Laboratorio di Calcolo delle Probabilità. L'esame si articolerà in
    una prova scritta (o, a scelta dello studente, una prova scritta intermedia e una finale) e una prova orale. Le
    prove scritte saranno composte da esercizi e problemi. Lo studente dovrà dare dimostrazione di aver acquisito le principali nozioni
    della materia e di saperle utilizzare nella soluzione di problemi concreti.
    Alla prova orale verranno ammessi solo gli studenti che avranno superato le prove scritte.
    La prova orale consisterà in domande sulle definizioni, gli enunciati, esempi e
    controesempi e alcune dimostrazioni indicate nel programma consuntivo del corso.
    Il punteggio finale terrà conto di entrambe le prove. 
  • Altre Informazioni:
    Ricevimento settimanale
    con giorno e orario da definire (vedi pagina web della docente)
    Pagina web: https://www.dec.unich.it/home-caroli-costantini-cristina-146
    E-mail: c.costantini@unich.it 

Spazi di probabilita'. Elementi di calcolo combinatorio e spazi di probabilità finiti uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Coppie di variabili aleatorie discrete e congiuntamente assolutamente continue. Variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. Legge dei grandi numeri, teorema centrale del limite.

1. Spazi di probabilità: eventi, operazioni tra eventi, spazi di probabilità e loro proprietà. Spazi di probabilità finiti uniformi. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni, coefficienti binomiali. Estrazioni da un’urna senza rimpiazzo.

2. Probabilità condizionata e sue proprietà, condizionamento successivo dell’intersezione di più eventi, formula della probabilità totale (con dimostrazione). Teorema di Bayes (con dimostrazione). Eventi indipendenti a coppie e famiglie di eventi indipendenti. Estrazioni da un’urna con rimpiazzo. Prove Bernoulliane. Eventi condizionatamente indipendenti.

3. Variabili aleatorie discrete: densità discreta di probabilità e sue proprietà. Legge binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson. Calcolo della densità di una funzione di una variabile aleatoria discreta.

4. Variabili aleatorie assolutamente continue: densità di probabilità e sue proprietà. Legge uniforme, esponenziale, Gaussiana.
Funzione di distribuzione e sue proprietà (anche per variabili aleatorie discrete). Calcolo della funzione di distribuzione e della densità di probabilità di una funzione di una variabile aleatoria assolutamente continua.

5. Valore atteso e sue proprietà. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria discreta o continua. Varianza e sue proprietà. Standardizzazione. Quantili.

6. Leggi congiunte di due variabili aleatorie discrete e di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue: calcolo delle densità marginali, indipendenza, densità condizionata. Calcolo della probabilità di eventi definiti da due variabili aleatorie. Calcolo della funzione di distribuzione e della densità di una funzione di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue. Densità della somma di due variabili aleatorie. Somma di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti. Somma di n variabili aleatorie Gaussiane indipendenti.

7. Valore atteso di una funzione di due variabili aleatorie. Valore atteso della somma di n variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due v.a. indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione e loro proprietà. Varianza della somma di due variabili aleatorie. Varianza della somma di n variabili aleatorie. Matrice di covarianza.
Valore atteso condizionato e sue principali proprietà.

8. Coppie di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane: forma della densità, indipendenza, marginali, trasformazioni affini, densità condizionata.
n-ple di v.a. congiuntamente Gaussiane: forma della densità, indipendenza, marginali, trasformazioni affini, densità condizionata.

9.Legge dei grandi numeri: lemma di Chebyshev, legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri.
Teorema centrale del limite. Approssimazione normale della binomiale.

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