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  • Lingua Insegnamento:
    Italiano 
  • Testi di riferimento:
    S. Ross: Calcolo delle probabilità 3/ed, Apogeo, 2014
    Fogli di esercizi disponibili sul sito web della docente
    (https://economia.unich.it/) 
  • Obiettivi formativi:
    Il corso affianca il corso di Calcolo delle Probabilità e ha l'obiettivo di far impadronire lo studente
    degli strumenti fondamentali per l'analisi dei fenomeni aleatori, attraverso esercizi, e di sviluppare
    la capacità dello studente di applicare
    le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi.

    RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:
    Ci si attende che lo studente:
    - acquisisca gli strumenti fondamentali per analizzare i fenomeni aleatori;
    - sappia formalizzare e risolvere problemi (problem solving).

    CONOSCENZE E CAPACITA' DI COMPRENSIONE:
    Alla fine del corso lo studente dovrà:
    - aver assimilato i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità;
    - aver acquisito gli strumenti fondamentali per l'analisi dei fenomeni aleatori;
    - aver sviluppato la capacità di formalizzare problemi e risolverli (problem solving). 
  • Prerequisiti:
    Nozioni di base di calcolo differenziale e integrale e di vettori e matrici. Non sono previsti vincoli di propedeuticità. 
  • Metodi didattici:
    L’insegnamento è strutturato in 24 ore di didattica frontale consistente in esercitazioni,
    con la correzione di esercizi e problemi assegnati dalla
    docente.
    La frequenza è facoltativa, consigliata, e la prova finale, integrata con il corso di
    Calcolo delle Probabilità, sarà uguale per frequentanti e non. 
  • Modalità di verifica dell'apprendimento:
    La verifica della preparazione degli studenti avverrà con esame integrato
    con il corso di Calcolo delle Probabilità. L'esame si articolerà in
    una prova scritta e una prova orale, sugli
    argomenti trattati durante il corso e presenti nel programma. La
    prova scritta sarà composta da esercizi e problemi.
    Alla prova orale verranno ammessi solo gli studenti che avranno superato la prova scritta.
    La prova orale consisterà in domande sulle definizioni, gli enunciati, esempi e
    controesempi e alcune dimostrazioni indicate nel programma consuntivo del corso.
    La valutazione verrà espressa attraverso un giudizio di "approvato" o "non approvato". 
  • Altre Informazioni:
    Ricevimento settimanale durante il semestre del corso,
    con giorno e orario da definire (vedi pagina web della docente)
    Ricevimento secondo un calendario pubblicizzato
    sulla pagina web della docente nel resto dell'anno.
    Pagina web: https://www.dec.unich.it/home-caroli-costantini-cristina-146
    E-mail: c.costantini@unich.it 

Esercizi e problemi su: spazi di probabilita'; elementi di calcolo combinatorio e spazi di probabilità finiti uniformi.; probabilità condizionata e indipendenza; variabili aleatorie discrete e assolutamente continue; coppie di variabili aleatorie discrete e congiuntamente assolutamente continue; variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane; legge dei grandi numeri, teorema centrale del limite.

1. Spazi di probabilità: eventi, operazioni tra eventi, spazi di probabilità e loro proprietà. Spazi di probabilità uniformi. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni, coefficienti binomiali. Estrazioni da un’urna senza rimpiazzo.

2. Probabilità condizionata e sue proprietà, condizionamento successivo dell’intersezione di più eventi, formula della probabilità totale (con dimostrazione). Teorema di Bayes (con dimostrazione). Eventi indipendenti a coppie e famiglie di eventi indipendenti. Estrazioni da un’urna con rimpiazzo. Prove Bernoulliane. Eventi condizionatamente indipendenti.

3. Variabili aleatorie discrete: densità discreta di probabilità e sue proprietà. Legge binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson. Calcolo della densità di una funzione di una variabile aleatoria discreta.

4. Variabili aleatorie assolutamente continue: densità di probabilità e sue proprietà. Legge uniforme, esponenziale, Gaussiana.
Funzione di distribuzione e sue proprietà (anche per variabili aleatorie discrete). Calcolo della funzione di distribuzione e della densità di probabilità di una funzione di una variabile aleatoria assolutamente continua.

5. Valore atteso e sue proprietà. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria discreta o continua. Varianza e sue proprietà. Standardizzazione. Quantili.

6. Leggi congiunte di due variabili aleatorie discrete e di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue: calcolo delle densità marginali, indipendenza, densità condizionata. Calcolo della probabilità di eventi definiti da due variabili aleatorie. Calcolo della funzione di distribuzione e della densità di una funzione di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue. Densità della somma di due variabili aleatorie. Somma di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti. Somma di n variabili aleatorie Gaussiane indipendenti.

7. Valore atteso di una funzione di due variabili aleatorie. Valore atteso della somma di n variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due v.a. indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione e loro proprietà. Varianza della somma di due variabili aleatorie. Varianza della somma di n variabili aleatorie. Matrice di covarianza.
Valore atteso condizionato e sue principali proprietà.

8. Coppie di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane: forma della densità, indipendenza, marginali, trasformazioni affini, densità condizionata.
n-ple di v.a. congiuntamente Gaussiane: forma della densità, indipendenza, marginali, trasformazioni affini, densità condizionata.

9.Legge dei grandi numeri: lemma di Chebyshev, legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri.
Teorema centrale del limite. Approssimazione normale della binomiale.

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